Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8

Nhằm giúp các em có thêm nhiều câu hỏi tham khảo, sẵn sàng tốt cho các kì thi sắp đến. Wiki Secret biên soạn Chuyên đề bồi dưỡng thuộc tính chia HSG môn Toán 8. Đa thức. Điều này sẽ giúp bạn làm quen với cấu trúc của đề thi. Cùng lúc, với mỗi đề thi đều có đáp án và gợi ý giúp học trò luyện tập, đối chiếu kết quả.

TÍNH CHẤT CHỦ ĐỀ HSG chia hết cho Đa thức.

I. Tìm dư của phép chia nhưng mà ko chia

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng số)

a) Định lý Bedu (Bezout, 1730 – 1783):

Phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhì thức x – a bằng trị giá của f (x) tại x = a

Ta có: f (x) = (x – a). Q (x) + r

Phương trình thích hợp với mọi x, vì thế với x = a, chúng ta có

f (a) = 0.Q (a) + r hoặc f (a) = r

Ta kết luận: f (x) chia hết cho x – a ( Mũi tên trái phải ) f (a) = 0

b) f (x) có hệ số bằng 0 và chia hết cho x – 1

c) f (x) trong ấy tổng các hệ số của các số hạng chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng lẻ thì nó chia hết cho x + 1

Như 1 tỉ dụ: Không chia, cho A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho

B = x + 1, C = x – 3 ko

Các kết quả:

A chia hết cho B, ko chia hết cho C

2. Đa thức chia hết cho 2 hay nhiều bậc

Cách 1: Chia đa thức bị phân thành số đa thức bị chia hết và đa thức dư.

Cách 2: Xét các trị giá riêng: gọi thương của phép chia là Q (x), dư là ax + b thì

f (x) = g (x). Q (x) + ax + b

Thí dụ 1: Tìm phần dư của phép chia x7 + x5 + x3 +1 cho x2 – trước tiên

Phương pháp 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1, vì thế chúng tôi tách biệt:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) + (x3 – x) + 3x + 1

= x (x6 – 1) + x (x.)4 – 1) + x (x.)2 – 1) + 3x + 1 chia hết cho x2 – 1 còn lại 3x + 1

Phương pháp 2:

Gọi thương của phép chia là Q (x), dư là ax + b, Ta có:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1) (x + 1) .Q (x) + ax + b với mọi x

Phương trình thích hợp với mọi x, vì thế với x = 1, chúng ta có 4 = a + b (1)

với x = – 1 ta có – 2 = – a + b (2)

Từ (1) và (2) kết luận a = 3, b = 1, sao cho phần dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

1n – Bn chia hết cho a – b (a ( ne ) -b)

1n + bn (lẻ n) chia hết cho a + b (a ( ne ) -b)

Thí dụ 2: Tìm phần dư của phép chia

cây rìu41 chia cho x2 + 1

b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – trước tiên

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1

Hiện nay

cây rìu41 = x41 – x + x = x (x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x41 phần dư x phải chia cho

x2 + 1 x còn lại

b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x

= x (x26 – 1) + x (x.)số 8 – 1) + x (x.)2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 còn lại 4x

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x (x98 + 1) + x (x54 + 1) + x (xmười + 1) – 2x + 7

chia cho x2 + 1 phần còn lại – 2x + 7

II. Biểu đồ HORNO

1. Lược đồ

Để tìm kết quả của phép chia f (x) cho x – a

(a là 1 hằng số), chúng tôi sử dụng biểu đồ sừng


Nếu đa thức số chia là0x3 + atrước tiênx2 + a2x + a3,

chia đa thức cho x – a ta được thương

B0x2 + btrước tiênx + b2phần còn lại r thì chúng ta có

Như 1 tỉ dụ:

Đa thức chia: x3 -5x2 + 8x – 4, phép chia đa thức x – 2

Tôi có 1 lược đồ

trước tiên

– 5

số 8

– 4

2

trước tiên

2. 1 + (- 5) = -3

2. (- 3) + 8 = 2

r = 2. 2 + (- 4) = 0

Vì thế: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2) (x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia

2. Vận dụng lược đồ Horner để tính trị giá của đa thức tại x = a

Giá trị của f (x) tại x = a là phần dư của phép chia f (x) cho x – a

Như 1 tỉ dụ

Tính trị giá của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010

Chúng tôi có lược đồ:

trước tiên

3

0

-4

a = 2010

trước tiên

2010,1 + 3 = 2013

2010.2013 + 0

= 4046130

2010.4046130 – 4

= 8132721296

Vậy: A (2010) = 8132721296

Tôi, tôi, tôi. Chứng minh rằng 1 đa thức chia hết cho đa thức kia

1. Phương pháp

1. Cách 1: Nhân tử 1 đa thức được 1 đa thức chia.

2. Cách 2: chuyển đa thức bị phân thành tổng của đa thức bị chia hết cho số chia.

3. Phương pháp 3: Biến đổi tương đương của f (x) ( vdots ) ​​g (x) <=> f (x) ( vdots ) ​​g (x) ( vdots ) ​​g (x)

4. Cách 4: Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức bị chia đều là nghiệm của đa thức bị chia.

2. Thí dụ

Thí dụ 1:

Chứng minh rằng: x8n + x4n +1 chia hết cho x2n + xn + 1

Chúng tôi có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 – x4n = (x4n + 1)2 – x4n = (x4n + x2n + 1) (x4n – x2n + 1)

Chúng tôi có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1) (x2n – xn + 1)

chia hết cho x2n + xn + 1

Vì thế: x8n + x4n +1 chia hết cho x2n + xn + 1

Thí dụ 2:

Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 +1 chia hết cho x2 + x + 1 cho tất cả m, n ( in ) N

Chúng tôi có: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 – x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1

= x (x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)

bởi vì x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 phải chia hết cho x2 + x + 1

Vì thế: x3m + 1 + x3n + 2 +1 chia hết cho x2 + x + 1 cho tất cả m, n ( in ) N

Thí dụ 3: Chứng minh điều ấy

f (x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1 chia hết cho g (x) = x9 + xsố 8 + x7 + …. + x + 1

Ta có: f (x) – g (x) = x99 – x9 + x88 – xsố 8 + x77 – x7 + … + x11 – x + 1 – 1

= x9(x90 – 1) + xsố 8(x80 – 1) + …. + x (xmười – 1) chia hết cho xmười – trước tiên

ấy xmười – 1 = (x – 1) (x9 + xsố 8 + x7 + … + x + 1) chia hết cho x9 + xsố 8 + x7 + … + x + 1

Vậy f (x) – g (x) chia hết cho g (x) = x9 + xsố 8 + x7 + … + x + 1

Vậy f (x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1 chia hết cho g (x) = x9 + xsố 8 + x7 + …. + x + 1

Thí dụ 4: CMR: f (x) = (x2 + x – 1)mười + (x2 – x + 1)mười – 2 chia hết cho g (x) = x2 – x

Đa thức g (x) = x2 – x = x (x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có f (0) = (-1)mười + 1mười – 2 = 0 ( Mũi tên phải ) x = 0 là nghiệm của f (x) ( Mũi tên phải ) f (x) chứa thừa số x

f (1) = (12 + 1 – 1)mười + (12 – 1 + 1)mười – 2 = 0 ( Mũi tên phải ) x = 1 là nghiệm của f (x) f (x) chứa thừa số x – 1, trong ấy thừa số x và x – 1 ko có nhân tử chung, do ấy f ( x) chia hết cho x (x – 1)

hoặc f (x) = (x2 + x – 1)mười + (x2 – x + 1)mười – 2 chia hết cho g (x) = x2 – x

Thí dụ 5: Chứng minh điều ấy

a) A = x2 – x9 – x[1945 habis dibagi B = x2 – x + 1

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 habis dibagi D = (x – 1)2

c) C(x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 habis dibagi D(x) = x(x + 1)(2x + 1)

Hadiah

a) A = x2 – x9 – x[1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x[1945 – x)

Kami memiliki: x2 – x + 1 habis dibagi B = x2 – x + 1

x9 +1 habis dibagi x3 + 1 harus habis dibagi B = x2 – x + 1

x[1945 – x = x(x1944 – 1) habis dibagi x3 + 1 (memiliki solusi yang sama dengan x = – 1)

habis dibagi B = x2 – x + 1

Jadi A = x2 – x9 – x[1945 habis dibagi B = x2 – x + 1

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 – 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – pertama)

= 8(x – 1)(x8 + x7 + …+1) – 9(x – 1)(x .)7 + x6 + …+1)

= (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)

(8x.)8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) habis dibagi x – 1 karena jumlah koefisiennya adalah 0

menyimpulkan (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) habis dibagi (x – 1)2

c) Polinomial pembagian D(x) = x(x + 1)(2x + 1) memiliki tiga solusi: x = 0, x = – 1, x = – (frac{1}{2})

Kita punya:

C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 (Panah kanan ) x = 0 adalah solusi dari C(x)

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- pertama)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 (Panah kanan ) x = – 1 adalah solusi dari C(x)

C(- (frac{1}{2})) = (-(frac{1}{2}) + 1)2n – (-(frac{1}{2}))2n – 2.(- (frac{1}{2})) – 1 = 0 (Rightarrow ) x = – (frac{1}{2}) adalah solusi dari C(x )

Setiap akar polinomial pembagi adalah akar dari pembagi (Rightarrow ) dpcm

Contoh 6:

Misalkan f(x) merupakan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Kita tahu bahwa f(0) dan f(1) adalah bilangan ganjil. Buktikan bahwa f(x) tidak memiliki solusi bilangan bulat

Asumsikan x = a adalah solusi bilangan bulat dari f(x), maka f(x) = (x – a). T(x). Dimana Q(x) adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat, jadi f(0) = – a. Q(0), f(1) = (1 – a). T(1)

Karena f(0) ganjil, a ganjil, f(1) ganjil, maka 1 – a ganjil, dan 1 – a adalah selisih dua bilangan ganjil yang tidak boleh ganjil.

Jadi f(x) tidak memiliki solusi bilangan bulat

*Latihan otodidak

Pelajaran 1: Temukan keseimbangan ketika

a) x43 bagi dengan x2 + 1

b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 untuk x2 + 1

Pelajaran 2: Hitung nilai polinomial x4 + 3x3 – 8 pada x = 2009

Pelajaran 3: Buktikan itu

a) x50 + xsepuluh +1 habis dibagi x20 + xsepuluh + 1

b) xsepuluh – 10x + 9 habis dibagi x2 – 2x + 1

c) x4n + 2 + 2x2n + 1 +1 habis dibagi x2 + 2x + 1

d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 habis dibagi x2 + 1

mantann – 1)(xn + 1 – 1) habis dibagi (x + 1)(x – 1)2

Berikut isi dokumennya Pelatihan HSG Tematik tentang Pembagian untuk Polinomial Matematika 8. Untuk melihat referensi yang lebih berguna, Anda dapat memilih untuk menonton secara online atau masuk ke hoc247.net untuk mengunduh dokumen ke komputer Anda.

Kami berharap bahwa dokumen ini akan membantu siswa untuk meninjau dengan baik dan mencapai prestasi akademik yang tinggi.

Anda juga dapat melihat beberapa sumber lain dari topik yang sama di sini:

  • Topik Lanjutan Menyederhanakan ekspresi dengan de-sequencing Math 8
  • Topik Konstanta Kesetaraan yang Mengesankan Matematika 8

Semoga sukses dengan studi Anda!

.


Thông tin thêm về Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8

Nhằm giúp các em có thêm đề thi tham khảo, sẵn sàng thật tốt cho kì thi sắp tới. Wiki Secret đã biên soạn Bồi dưỡng HSG chuyên đề Thuộc tính chia hết đối với đa thức Toán 8 sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc với đề thi. Cùng lúc, kèm với mỗi đề thi đều có đáp án và gợi ý giải giúp các em vừa luyện tập vừa đối chiếu kết quả.
BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

I.  Tìm dư của phép chia nhưng mà ko tiến hành phép chia

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhì thức x – a bằng trị giá của f(x) tại x = a

Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r

Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a (Leftrightarrow ) f(a) = 0

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1

Thí dụ : Không chiếu lệ chia, hãy xét xem A = x3 – 9×2 + 6x + 16 chia hết cho

B = x + 1, C = x – 3 ko

Kết quả:

A chia hết cho B, ko chia hết cho C

2. Đa thức chia có bậc 2 trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị phân thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư

Cách 2: Xét trị giá riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b

Thí dụ 1: Tìm dư của phép chia  x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1

Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1

= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư  3x + 1

Cách 2:

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)

với x = – 1 ta có  – 2 = – a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

an – bn chia hết cho a – b (a (ne ) -b)

an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a (ne ) -b)

Thí dụ 2: Tìm dư của các phép chia

a)  x41 chia cho x2 + 1   

b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho  x2 + 1

Gicửa ải

a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dư x nên chia cho

x2  + 1 dư x

b) x27 + x9 + x3 + x =  (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x

= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư  4x

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7

chia cho x2 + 1 dư  – 2x + 7

II. Lược đồ HORNƠ

1. Lược đồ

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a

(a là hằng số), ta sử dụng lược đồ hornơ

Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3,

đa thức chia là x – a ta được thương là

b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có

Thí dụ:

Đa thức bị chia: x3  -5×2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2

Ta có lược đồ

 

1

– 5

8

– 4

2

1

2. 1 + (- 5) = -3

2.(- 3) + 8 = 2

r = 2. 2 +(- 4) = 0

Vậy: x3  -5×2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết

2. Vận dụng lược đồ Hornơ để tính trị giá của đa thức tại x = a

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a

Thí dụ

Tính trị giá của A = x3 + 3×2 – 4 tại x = 2010

Ta có lược đồ:

 

1

3

0

-4

a = 2010

1

2010.1+3 = 2013

2010.2013 + 0

= 4046130

  2010.4046130 – 4

= 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296

III. Chứng minh 1 đa thức chia hết cho 1 đa thức khác

1. Phương pháp

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị phân thành nhân tử có 1 thừa số là đa thức chia

2. Cách 2: chuyển đổi đa thức bị phân thành 1 tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) (vdots) g(x) <=> f(x) (vdots) g(x) (vdots) g(x)

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

2. Thí dụ

Thí dụ 1:

Chứng minh rằng:  x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 – x4n = (x4n + 1)2 – x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n – x2n + 1)

Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n – xn + 1)

chia hết cho x2n + xn + 1

Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Thí dụ 2:

Chứng minh rằng:  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n (in ) N

Ta có:   x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1  – x + x3n + 2 – x2 + x2 +  x + 1

= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 +  x + 1)

Vì  x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1

Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n (in ) N

Thí dụ 3:  Chứng minh rằng 

f(x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ….+ x + 1

Ta có:  f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + … + x11 – x  + 1 – 1

= x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ….+ x(x10 – 1) chia hết cho  x10 – 1

Nhưng mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +…+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +…+ x + 1

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 +…+ x + 1

Nên  f(x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1  chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 + ….+ x + 1

Thí dụ 4: CMR:  f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 –  x + 1)10 – 2  chia hết cho g(x) = x2 – x

Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0  (Rightarrow ) x = 0 là nghiệm của f(x) (Rightarrow ) f(x) chứa thừa số x

f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 (Rightarrow ) x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, nhưng mà các thừa số x và x – 1 ko có nhân tử chung, do ấy f(x) chia hết cho x(x – 1)

hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 –  x + 1)10 – 2   chia hết cho g(x) = x2 – x

Thí dụ 5: Chứng minh rằng

a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8×9 – 9×8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2

c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x)  = x(x + 1)(2x + 1)

Gicửa ải

a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)

Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1

 x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho  B = x2 – x + 1

 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = – 1)

nên chia hết cho B = x2 – x + 1

Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8×9 – 9×8 + 1 = 8×9 – 8  – 9×8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)

= 8(x – 1)(x8 + x7 + …+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + …+ 1)

= (x – 1)(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)

(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0

suy ra  (x – 1)(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có 3 nghiệm là x = 0, x = – 1, x = – (frac{1}{2})

Ta có:

C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0  – 1 = 0 (Rightarrow ) x = 0 là nghiệm của C(x)

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 (Rightarrow ) x = – 1  là nghiệm của C(x)

C(- (frac{1}{2})) = (-(frac{1}{2}) + 1)2n – (-(frac{1}{2}))2n – 2.(- (frac{1}{2})) – 1 = 0 (Rightarrow ) x = – (frac{1}{2})  là nghiệm của C(x)

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia (Rightarrow ) đpcm

Thí dụ 6:

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) ko có nghiệm nguyên

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ấy Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do ấy f(0) = – a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, nhưng mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ chẳng thể là số lẻ, mâu thuẩn

Vậy f(x) ko có nghiệm nguyên

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số dư lúc

a) x43 chia cho x2 + 1

b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1

Bài 2: Tính trị giá của đa thức  x4 + 3×3 – 8  tại x = 2009

Bài 3: Chứng minh rằng

a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1

b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1

c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1

d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1

e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Thuộc tính chia hết đối với đa thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo bổ ích khác các em chọn tính năng xem trực tuyến hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học trò ôn tập tốt và đạt thành quả cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm 1 số tư liệu cùng phân mục tại đây:

Chuyên đề tăng lên Rút gọn biểu thức bằng bí quyết khử liên tục Toán 8
Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8

​Chúc các em học tập tốt!

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ An

233

Chuyên đề Phần mềm hệ thức Vi-ét Toán 9

691

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Trường Sơn

301

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Các bài toán về sự chia hết của số nguyên Toán 8

405

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Hoán vị, tổ hợp Toán 8

329

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

457

[rule_2_plain] [rule_3_plain]

Nhằm giúp các em có thêm đề thi tham khảo, sẵn sàng thật tốt cho kì thi sắp tới. Wiki Secret đã biên soạn Bồi dưỡng HSG chuyên đề Thuộc tính chia hết đối với đa thức Toán 8 sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc với đề thi. Cùng lúc, kèm với mỗi đề thi đều có đáp án và gợi ý giải giúp các em vừa luyện tập vừa đối chiếu kết quả.
BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

I.  Tìm dư của phép chia nhưng mà ko tiến hành phép chia

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhì thức x – a bằng trị giá của f(x) tại x = a

Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r

Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a (Leftrightarrow ) f(a) = 0

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1

Thí dụ : Không chiếu lệ chia, hãy xét xem A = x3 – 9×2 + 6x + 16 chia hết cho

B = x + 1, C = x – 3 ko

Kết quả:

A chia hết cho B, ko chia hết cho C

2. Đa thức chia có bậc 2 trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị phân thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư

Cách 2: Xét trị giá riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b

Thí dụ 1: Tìm dư của phép chia  x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1

Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1

= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư  3x + 1

Cách 2:

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)

với x = – 1 ta có  – 2 = – a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

an – bn chia hết cho a – b (a (ne ) -b)

an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a (ne ) -b)

Thí dụ 2: Tìm dư của các phép chia

a)  x41 chia cho x2 + 1   

b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho  x2 + 1

Gicửa ải

a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dư x nên chia cho

x2  + 1 dư x

b) x27 + x9 + x3 + x =  (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x

= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư  4x

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7

chia cho x2 + 1 dư  – 2x + 7

II. Lược đồ HORNƠ

1. Lược đồ

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a

(a là hằng số), ta sử dụng lược đồ hornơ

Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3,

đa thức chia là x – a ta được thương là

b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có

Thí dụ:

Đa thức bị chia: x3  -5×2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2

Ta có lược đồ

 

1

– 5

8

– 4

2

1

2. 1 + (- 5) = -3

2.(- 3) + 8 = 2

r = 2. 2 +(- 4) = 0

Vậy: x3  -5×2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết

2. Vận dụng lược đồ Hornơ để tính trị giá của đa thức tại x = a

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a

Thí dụ

Tính trị giá của A = x3 + 3×2 – 4 tại x = 2010

Ta có lược đồ:

 

1

3

0

-4

a = 2010

1

2010.1+3 = 2013

2010.2013 + 0

= 4046130

  2010.4046130 – 4

= 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296

III. Chứng minh 1 đa thức chia hết cho 1 đa thức khác

1. Phương pháp

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị phân thành nhân tử có 1 thừa số là đa thức chia

2. Cách 2: chuyển đổi đa thức bị phân thành 1 tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) (vdots) g(x) <=> f(x) (vdots) g(x) (vdots) g(x)

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

2. Thí dụ

Thí dụ 1:

Chứng minh rằng:  x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 – x4n = (x4n + 1)2 – x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n – x2n + 1)

Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n – xn + 1)

chia hết cho x2n + xn + 1

Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Thí dụ 2:

Chứng minh rằng:  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n (in ) N

Ta có:   x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1  – x + x3n + 2 – x2 + x2 +  x + 1

= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 +  x + 1)

Vì  x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1

Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n (in ) N

Thí dụ 3:  Chứng minh rằng 

f(x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ….+ x + 1

Ta có:  f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + … + x11 – x  + 1 – 1

= x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ….+ x(x10 – 1) chia hết cho  x10 – 1

Nhưng mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +…+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +…+ x + 1

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 +…+ x + 1

Nên  f(x) = x99 + x88 + x77 + … + x11 + 1  chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 + ….+ x + 1

Thí dụ 4: CMR:  f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 –  x + 1)10 – 2  chia hết cho g(x) = x2 – x

Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0  (Rightarrow ) x = 0 là nghiệm của f(x) (Rightarrow ) f(x) chứa thừa số x

f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 (Rightarrow ) x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, nhưng mà các thừa số x và x – 1 ko có nhân tử chung, do ấy f(x) chia hết cho x(x – 1)

hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 –  x + 1)10 – 2   chia hết cho g(x) = x2 – x

Thí dụ 5: Chứng minh rằng

a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8×9 – 9×8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2

c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x)  = x(x + 1)(2x + 1)

Gicửa ải

a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)

Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1

 x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho  B = x2 – x + 1

 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = – 1)

nên chia hết cho B = x2 – x + 1

Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8×9 – 9×8 + 1 = 8×9 – 8  – 9×8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)

= 8(x – 1)(x8 + x7 + …+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + …+ 1)

= (x – 1)(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)

(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0

suy ra  (x – 1)(8×8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có 3 nghiệm là x = 0, x = – 1, x = – (frac{1}{2})

Ta có:

C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0  – 1 = 0 (Rightarrow ) x = 0 là nghiệm của C(x)

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 (Rightarrow ) x = – 1  là nghiệm của C(x)

C(- (frac{1}{2})) = (-(frac{1}{2}) + 1)2n – (-(frac{1}{2}))2n – 2.(- (frac{1}{2})) – 1 = 0 (Rightarrow ) x = – (frac{1}{2})  là nghiệm của C(x)

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia (Rightarrow ) đpcm

Thí dụ 6:

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) ko có nghiệm nguyên

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ấy Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do ấy f(0) = – a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, nhưng mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ chẳng thể là số lẻ, mâu thuẩn

Vậy f(x) ko có nghiệm nguyên

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số dư lúc

a) x43 chia cho x2 + 1

b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1

Bài 2: Tính trị giá của đa thức  x4 + 3×3 – 8  tại x = 2009

Bài 3: Chứng minh rằng

a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1

b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1

c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1

d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1

e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Thuộc tính chia hết đối với đa thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo bổ ích khác các em chọn tính năng xem trực tuyến hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học trò ôn tập tốt và đạt thành quả cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm 1 số tư liệu cùng phân mục tại đây:

Chuyên đề tăng lên Rút gọn biểu thức bằng bí quyết khử liên tục Toán 8
Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8

​Chúc các em học tập tốt!

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ An

233

Chuyên đề Phần mềm hệ thức Vi-ét Toán 9

691

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Trường Sơn

301

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Các bài toán về sự chia hết của số nguyên Toán 8

405

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Hoán vị, tổ hợp Toán 8

329

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

457

[rule_2_plain] [rule_3_plain]

#Bồi #dưỡng #HSG #chuyên #đề #Tính #chất #chia #hết #đối #với #đa #thức #Toán


  • Tổng hợp: Wiki Secret
  • #Bồi #dưỡng #HSG #chuyên #đề #Tính #chất #chia #hết #đối #với #đa #thức #Toán

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button